Một Số Phương Pháp Tính Lũy Thừa Của Ma Trận Vuông

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÍNH LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VUÔNG

Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

ThS. Nguyễn Hoàng Xinh

Nguyễn Thị Mỹ Cầm
MSSV: 1110007
Lớp: SP Toán K37

Cần Thơ, 2024

1
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

LỜI CẢM ƠN
Trong cuộc sống không có sự thành công nào mà không dựa trên sự nỗ lực,
quyết tâm của cá nhân cùng với sự giúp đỡ hỗ trợ của mọi người. Với lòng biết ơn
sâu sắc, em xin gửi đến quý Thầy Cô Bộ môn Toán nói riêng, Khoa Sư phạm nói
chung lời cảm ơn chân thành vì đã tạo điều kiện để em được học tập, nghiên cứu, mở
rộng kiến thức cũng như tạo cơ hội để em có thể thực hiện và hoàn thành luận này.
Đặc biệt, em xin ch&# 226;n thành cảm ơn thầy Nguyễn Hoàng Xinh đã tận tâm
hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng hết sức mình để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Song cũng
không thể tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu
từ quý Thầy cô và bạn đọc để luận văn của em hoàn thiện hơn.
Cuối lời, em xin kính chúc quý Thầy Cô dồi dào sức khỏe, thành công trong
công tác giảng dạy và cu&# 7897;c sống.
Cần Thơ, ngày 20 tháng 04 năm 2024
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Mỹ Cầm

2
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông................5
1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
tính trực tiếp......................................................................................................5
1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
quy nạp toán học.........................................................................10
1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
sử dụng nhị thức Newton...............................................................20
1.4 Tính lũy thừa của ma t rận vuông bằng phương pháp
chéo hóa ma trận.........................................................................27
1.5 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
đưa về dạng chuẩn Jordan...............................................................35
1.6 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
sử dụng định lý Cayley - Hamilton...................................................41
Chương 2: Bài tập và lời giải.............................................................45

PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

3
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

4
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

PHẦN NỘI DUNG
Chương 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA
MA TRẬN VUÔNG
1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp tính trực tiếp
1.1.1 Phương pháp
Phân tích ma trận về các ma trận đặc biệt như ma trận đơn vị, ma trận không.
1.1.2 Các ví dụ
a) Ví dụ 1

2014

Giải

503

b) Ví dụ 2
Trong M 2 

3

 cho

Giải
5
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

671

*

Giải
Ta thấy A4  0  An  0, n  4

GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

d) Ví dụ 4

Chứng minh rằng A2014  0 thì A2  0 .

ii)

Tìm ma trận A để n 

: An  I 2

Giải

i)

2014

Ta có A

d 
 với d là một số thực nào đó.
c 2014 

e
 với e là số thực nào đó.
cn 

Từ giả thiết An  I 2  a n  c n  1 . Vì thế xảy ra các trường hợp:

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

tất

cả

ma

a, b, c, d  , n 

trận

sao

cho

với

*

Giải

0 0
Ta thấy A  
 là một ma trận cần tìm.
0 0

*

Trường hợp 1: c  0

b  0
Từ hệ phương trình ta có: 
a  d  c  0

 4

Từ đẳng thức:

 c3  ac  a  d   d 2c

8
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Từ

 4

a  d 

3

ta có c = a+d thay vào phương trình trên ta được:

 a(a  d )  d 2 (a  d )  ad  0

Trường hợp 2: b  0

 0 0 b 0 0 c  d d   e
,
,
,
,
Vậy các ma trận cần tìm là  a a   b 0   0 c   0 0   0

Với a, b, c, d, e, f là các số thực.
f) Ví dụ 6

, tính An , n 

*

Giải

Xét ánh xạ f :

a  bi

Dễ dàng chứng minh f là một đẳng cấu trường.
9
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Xét g :

a

Dễ dàng chứng minh g là một đẳng cấu trường.

2

 cos n sin n 
 rn 

  sin n cos n 
1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp quy nạp toán học
1.2.1 Phương pháp
10
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Bước 1: Tính các lũy thừa A2 , A3 , A4 ,...
Bước 2: Dự đoán công thức tổng quát An
Bước 3: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đã
dự đoán ở bước 2.
1.2.2 Các ví dụ
a) Ví dụ 1

1.1

Chứng minh 1.1 bằng phương pháp quy nạp toán học
 n  1 công thức 1.1 đúng.
 Giả sử công thức 1.1 đúng với n  k , k 

*

 Chứng minh công thức 1.1 đúng với n  k  1, tức là chứng minh:

*

.

 1 2014 
.
Chọn n  2014 ta được: A2014  
1 
0
 Sử dụng Maple
11
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

*

Giải

Dự đoán: Bn  3n1.B , với n 

*

1.2 

.

Chứng minh 1.2  bằng phương pháp quy nạp toán học
 n  1 , công thức 1.2  đúng.
 Giả sử công thức 1.2  đúng với n  k , k 

*

, ta có: Bk  3k 1.B .

 Chứng minh công thức 1.2  đúng với n  k  1 , tức là chứng minh:

Bk 1  3k.B .
Thậy vậy:
12
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Bk 1  3k.B  3k 1.B.B  3k 1.3B  3k.B .
Vậy Bn  3n1.B, n 

*

.

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả
Giả sử n = 1993

Theo cách giải trên ta được: A1993

 31992 31992 31992 


A1993 :  31992 31992 31992 
 31992 31992 31992 



c) Ví dụ 3

*

.

Giải

13
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 22 I
Ta tính được: A2  
 O

1.3

Chứng minh công thức 1.3 bằng phương pháp quy nạp toán học.
 n  1 : công thức 1.3 đúng.
 Giả

sử

công

thức

1.3

đúng

với

n  k, k 

*

.Ta

có:

 Ta chứng minh 1.3 đúng với n  k  1, tức là chứng minh

Thậy vậy:

*

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả
Giả sử n = 100, theo cách giải trên thì:

14
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

A100

d) Ví dụ 4

1.4 

Chứng minh 1.4  bằng phương pháp quy nạp toán học.
15
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông



n  1 , công thức 1.4  đúng.



Giả sử công thức 1.4  đúng với n  k , k 

*

Chứng minh công thức (1.4) đúng với n  k  1, tức là chứng minh

*

.

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả

1993

Giả sử n = 1993, theo cách giải trên thì: A

Bây giờ ta sử dụng Maple để giải.
16
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

7

6 2
n
) , cho ma trận A  
 . Tính A với n nguyên dương.
0 1

1.5

Ta sẽ chứng minh 1.5 bằng quy nạp toán học.


n  1 , hiển nhiên 1.5 đúng.

 Giả sử 1.5 đúng với n  k , k 

*

 Ta sẽ chứng minh 1.5 đúng với n  k  1, tức là chứng minh:
 6 2
1 0
k 1
Ak 1  
 nếu k  1 lẻ, A  
 nếu k  1 chẵn
0 1
0 1

17
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Thậy vậy:

nguyên dương.
 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả
Giả sử n  2014 , n  2024 theo cách giải trên thì:

18
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 cos x  sin x 
Tính A2014 với A  
.
 sin x cos x 
Giải
Ta tính được:

 cos 2 x  sin 2 x  3  cos3x  sin 3x  4  cos 4 x  sin 4 x 
A2  
 , A   sin 3x cos3x  , A   sin 4 x cos 4 x  .
 sin 2 x cos 2 x 




 cos nx  sin nx 
Dự đoán: An  
 , n 
 sin nx cos nx 

1.6 

*

Ta sẽ chứng minh 1.6  bằng quy nạp toán học.
 n  1 , hiển nhiên 1.6  đúng.
 Giả sử 1.6  đúng với n  k , k 

*

 cos kx  sin kx 
, ta có: Ak  
.
 sin kx cos kx 

Thật vậy

 cos kx  sin kx  cos x  sin x 
Ak 1  Ak A  


 sin kx cos kx  sin x cos x 
19
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm

Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

 cos(2014 x)  sin(2014 x) 
A2014 : 

 sin(2014 x) cos(2014 x) 
1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp sử dụng
nhị thức Newton
1.3.1 Phương pháp
Giả sử A là ma trận vuông cấp k, tính lũy thừa bậc n của ma trận A với n nguyên
dương.
Bước 1 : Phân tích A = B+ C, trong đó BC = CB, B, C là các ma trận tính lũy
thừa dễ dàng.
n

Bước 2: An   B  C    Cnk B nk C k
n

k 0

20
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm