Các Dạng Bài Tập Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
- Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm x 0) thì tìm y 0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: y 0=f(x 0)
- Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm y 0) thì tìm x 0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: f(x 0)=y 0
- Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C): y=f(x) và đường đường thẳng (d): y=ax+b. Khi đó, các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C).
- Trục hoành Ox: y=0; trục tung Oy: x=0.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x 3+2x 2 tại điểm M(-1;1)
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;1) là:
- Vậy PTTT của (C) tại điểm M(-1;1) là: y = -x.
- Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M của (C) là:
Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y =x 4 - 2x 2.
- Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành (Ox) là:
- Như vậy, giờ bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị thàm số tại 1 điểm.
⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0.
⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (√2; 0) có hệ số góc k = 4√2 là:
⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có hệ số góc k = -4√2 là:
y = 0; y = 4√2x - 8 và y = -4√2x - 8
- Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x A;y A)
Phương trình tiếp tuyến đi qua A(x A;y A) có hệ số góc k có dạng:
Thay x 0 tìm được vào phương trình (**) ta được PTTT cần viết.
Viết Phương trình tiếp tuyến của (C): y = -4x 3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1;2).
- Ta có: y' = -12x 2 + 3
- Đường thẳng d đi qua A(-1;2) có hệ số góc k có phương trình là: y = k(x + 1) + 2
- Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
- Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:
⇔ x = -1 hoặc x = 1/2.
* Với x = -1 ⇒ k = -12.(-1) 2 + 3 = -9. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x - 7
* Với x = 1/2 ⇒ k = -12.(1/2) 2 + 3 = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = 2
* Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2) là: y = -9x - 7 và y = 2.
- Đường thẳng (d) đi qua A(-1;4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4
- Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
- Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:
- Ta thấy x = -1 (loại), x = -4 (nhận)
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của (d) với đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.
- Hệ số góc của tiếp tuyến là: k=f'(x 0)
- Giải phương trình k=f'(x 0) này ta tìm được x 0, từ đó tìm được y 0.
, ví dụ, d//Δ: y=ax+b ⇒k=a. Sau khi lập được PTTT thì cần kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng Δ hay không? nếu trùng thì loại kết quả đó.
ví dụ, d⊥Δ: y=ax+b ⇒k.a=-1 ⇒k=-1/a.
thì k=±tanα.
Tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y=ax+b một góc α, khi đó:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x 3 - 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.
- Ta có: y' = 3x 2 - 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x 0;y 0)
⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y'(x 0)
- Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là:
- Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = 3x + 2 nên ta có:
- Phương trình tiếp tuyến tại M 1 là (d 1): y = 3(x + 1) - 1 ⇔ y = 3x + 2
Đối chiếu với phương trình đường Δ ta thấy d 1 ≡Δ nên loại.
- Phương trình tiếp tuyến tại M 2 là (d 2): y = 3(x + 3) + 5 ⇔ y = 3x + 14
* Vậy đồ thị (C) có 1 tiếp tuyến // với Δ là (d 2): y = 3x + 14
- Gọi đườn thẳng (d) có hệ số góc k là tiếp tuyến của (C) vuông góc với (Δ) có dạng: y = kx + b
- Để (d) tiếp xúc với (C) thì hệ sau phải có nghiệm:
⇒ phương trình tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với (Δ) là: y = -6x + 10.
* Cách giải khác:
- Ta có hệ số góc của tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) là y' = -4x 3 - 2x.
⇒ Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;4) là: y = -6(x - 1) + 4 = -6x + 10.
- Vận dụng phương pháp giải một trong các dạng toán ở trên sau đó giải và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán.
Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m 2 - 4)x + 2m - 1.
- TXĐ: D = R
- Ta có: y' = 3x 2 - 6x
- Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(1;-2) của (C) có dạng:
- Khi đó pt đường thẳng Δ: y = -3x + 3
- Vậy, với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại M(1;-2) song sóng với Δ.
Cho hàm số y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + m + 2 có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của (C) tại A vuông góc với đường thẳng Δ: x - 4y + 1 = 0.
- TXĐ: D = R
- Ta có: y' = 4x 3 - 4(m+1)x
- Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm A,
khi đó hệ số góc của (d) là: k = y'(1) = 4 - 4(m + 1) = -4m
- Do đó: d ⊥ Δ ⇔ k = -4 ⇔ -4m = -4 ⇔ m = 1