Hàm Trơn Không Giải Tích

Xét hàm Hàm được gọi là trơn, còn gọi khả vi vô hạn, nếu nó có đạo hàm mọi cấp trên Hàm được gọi là hàm giải tích nếu nó trơn và chuỗi Taylor tại mọi điểm trên của nó đều hội tụ đến nó trong một lân cận của điểm đang xét.

Như ta đã biết hàm

là hàm trơn và không giải tích tại

Từ đây, không khó khăn lắm, ta có thể xây dựng được hàm trơn và không giải tích tại tối đa đếm được điểm. Liệu có hàm trơn nào mà nó không giải tích tại mọi nơi không?

Trước hết ta đến với điều kiện cần và đủ để một hàm trơn là hàm giải tích:

Cho trước hàm trơn . Khi đó điều kiện cần và đủ để giải tích là:

với bất kỳ điểm đều có các số dương (phụ thuộc ) sao cho

và

Việc kiểm tra hàm ở trên không thỏa mãn điều kiện này nói chung không đơn giản. Các bạn thử kiểm tra xem sao?

Ta sẽ dùng điều kiện trên để chỉ ra rằng tập các hàm giải tích là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật trong không gian các hàm trơn với khoảng cách được định nghĩa bởi

với giảm về , còn tăng đến

Với khoảng cách này không gian các hàm trơn là không gian Khi đó nó là không gian metric đầy đủ.

Từ điều kiện trên ta có:

– nếu giải tích tại thì có để ,

– nếu giải tích tại thì nó giải tích quanh một lân cận của điểm .

Khi đó tập các hàm giải tích thuộc vào hợp đếm được

Có thể thấy rằng:

– tập là đóng trong ,

.

Như vậy là tập không đâu trù mật. Mà là không gian metric đầy đủ nên

.

Như vậy có hàm trơn mà không giải tích tại mọi điểm.

Cách chứng minh trên, theo James Dugundji là của H. Salzmann và K. Zeller.

Cách tiếp cận khác chỉ ra cụ thể các hàm trơn và không giải tích tại mọi điểm. Để tiếp tục, tôi đưa ra cách của Sung S. Kim and Kil H. Kwon. Cách này có sử dụng hàm như trên. Cụ thể xét hàm

Kim và Kwon chứng minh được hàm

là hàm trơn và không đâu giải tích.

Có thể thấy hàm :

– là hàm không âm, tuần hoàn chu kỳ 1,

– trơn và có đạo hàm mọi cấp tại các điểm nguyên đều bằng 0.

Để chứng minh tính không đâu giải tích ta chỉ cần chứng minh không giải tích tại các điểm dạng:

với lẻ.

Các bạn thử giải thích tại sao?

Với , có

nên là các hàm giải tích tại

Còn với có

Ngoài ra

.

Do đó

không giải tích tại .

Nói cách khác không giải tích tại

Vài nhận xét về ví dụ cụ thể trên:

– Hàm là hàm không âm nên nếu lấy nguyên hàm của nó ta được hàm trơn, đơn điệu tăng và không đâu giải tích.

– Chuỗi Taylor của hàm tại các điểm hội tụ tại mọi điểm trên đường thẳng thực, nói cách khác nó có bán kính hội tụ .

Về nhận xét thứ hai, có hai câu hỏi:

– Tại những điểm khác , chuỗi Taylor của không hội tụ đến hàm trong lân cận của nó. Nó có hội tụ không? Bán kính hội tụ của nó liệu có bằng vô cùng?

– Có ví dụ nào khác về hàm trơn không đâu giải tích mà chuỗi Taylor tại bất kỳ điểm nào cũng có bán kính ?

Ta trả lời câu hỏi thứ hai bằng ví dụ

.

Giống ví dụ trước ta chỉ xét tại các điểm

với lẻ.

Từ đây dùng công thức Hadamard-Cauchy ta có

Như vậy bán kính hội tụ của chuỗi Taylor tại mỗi điểm bằng

Ta cũng gặp câu hỏi tương tự câu hỏi đầu cho hàm ở trên. Các bạn thử chứng minh tại những điểm còn lại chuỗi Taylor của hàm cũng có bán kính hội tụ ?

Với hàm , tại những điểm còn lại có những điểm giống như trường hợp hàm . Điều này được dẫn từ kết quả:

– (R. Boas) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn không đâu giải tích có bán kính hội tụ là tập trù mật trong .

– (Z. Zahorski) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn hội tụ trong một lân cận của điểm đang xét và không hội tụ đến hàm trơn trong lân cận bất kỳ của điểm đang xét là tập thuộc phạm trù thứ nhất dạng nghĩa là hợp đếm được các tập đóng không đâu trù mật.

Share this:

• Twitter

• Facebook

Like this:

Số lượt thích

Đang tải...