Bài 1,2,3,4,5 Trang 82,83 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ∈ N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:
Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1.
Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề P(n) đùng với mọi n ∈ N*
2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề P(n) lf đúng vơi mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:
- Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = p.
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giá thuyết và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.
Một số bài toán thường gặp
- Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.
- Dự đoán kết quả và chứng minh.
B. Giải bài tập sách giáo khoa bài phương pháp quy nạp toán học - Sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 trang 82,83
Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức:
Vậy VT = VP hệ thức a) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng S n.
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ∈ N*
b) Với n = 1, vế trái bằng 1/2, vế phải bằng 1/2, do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng S n.
Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ∈ N*
c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1) / 6 = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng S n.
Ta phải chứng minh
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ∈ N*
Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
a) n 3 + 3n 2 + 5n chia hết cho 3;
b) 4 n + 15n - 1 chia hết cho 9;
c) n 3 + 11n chia hết cho 6.
Với n = 1 thì S 1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S k = (k 3 + 3k 2 + 5k) ⋮ 3
Ta phải chứng minh rằng S k+1 ⋮ 3
Theo giả thiết quy nạp thì S k⋮3, mặt khác 3(k 2 + 3k + 3) ⋮3 nên S k+1 ⋮ 3.
Giả sử với n = k ≥ 1 thì S k= 4 k + 15k - 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh S k+1 ⋮ 9.
Thật vậy, ta có: S k+1 = 4 k + 1 + 15(k + 1) - 1
= 4(4 k + 15k - 1) - 45k + 18 = 4S k - 9(5k - 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 9 nên 4S 1 ⋮ 9, mặt khác 9(5k - 2) ⋮ 9, nên S k+1 ⋮ 9
Vậy (4 n + 15n - 1) ⋮ 9 với mọi n ∈ N*
Với n = 1, ta có S 1 = 1 3 + 11n = 12 nên S 1 ⋮ 6
Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S k = k 3 + 11k ⋮ 6
Ta phải chứng minh S k+1 ⋮ 6
Thật vậy, ta có S k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k 3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
THeo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 6, mặt khác k 2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k 2 + k + 4) ⋮ 6, do đó S k+1 ⋮ 6
Vậy n 3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:
a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:
tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:
b) Dự đoán công thức tính tổng S n và chứng minh bằng quy nạp.
a) Ta có:
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp
Khi n = 1, vế trái là S1 =1/2, vế phải bằng 1/(1+1)=1/2. Vậy đẳng thức (1) đúng.
tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.
Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.
Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ∈ N* , n ≥ 4.
Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.
Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: 4(4-3)/2 = 2
Vậy khẳng định là đúng với n= 4.
Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có số đường chéo là k(k - 3)/2
Nối A 1 và A k, ta được đa giác k cạnh A 1A 2...A k có k(k-3)/2 đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối A k+1 với các đỉnh A 2, A 3, ..., A k-1, ta được thêm k -2 đường chéo, ngoài ra A 1A k cũng là một đường chéo.
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh. Vậy bài toán đã được chứng minh.