Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 3: Hình Thang Cân
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 3: Hình thang cân giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:
∠(AHD) = ∠(BKC) = 90 o
AD = BC (tính chất hình thang cân)
∠C = ∠D (gt)
Suy ra: ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ HD = KC
Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:
AD = BC (tính chất hình thang cân)
∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)
DC chung
Do đó: ΔADC = ΔBCD (c.g.c) ⇒ ∠C 1= ∠D 1
Trong ΔOCD ta có: ∠C 1= ∠D 1 ⇒ ΔOCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)
AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.
a. Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rang góc ∠A = 40 o
a. ΔABC cân tại A
⇒∠B = ∠C = (180 o - ∠A) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)
AB = AC (gt) ⇒ AM + BM = AN + CN
Mà BM = CN (gt) ⇒ AM = AN
⇒ ΔAMN cân tại A
⇒∠M 1 = ∠N 1 = (180 o - ∠A) / 2 (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠M 1 = ∠B
⇒ MN // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Tứ giác BCNM là hình thang có B = C
Vậy BCNM là hình thang cân.
∠N 2= ∠M 2= 110 o (tính chất hình thang cân)
Xét hai tam giác AEB và AFC
Có AB = AC (ΔABC cân tại A)
∠ABE = ∠B/2 = ∠C/2 = ∠ACF
∠A là góc chung
⇒ ΔAEB = ΔAFC (g.c.g) ⇒ AE = AF ⇒ ΔAEF cân tại A
⇒ ∠AFE = (180 o− ∠A) / 2 và trong tam giác ΔABC: ∠B = (180 o − ∠A) / 2
⇒∠AFE = ∠B ⇒ FE//BC
⇒ Tứ giác BFEC là hình thang.
Vì FE//BC nên ta có: ∠FEB = ∠EBC (so le trong)
Lại có: ∠FBE = ∠EBC
⇒∠FBE = ∠FEB
⇒ ΔFBE cân ở F ⇒ FB = FE
⇒ Hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên (đpcm)
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.
Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK
Mà AC = BD (gt)
Suy ra: BD = BK do đó ΔBDK cân tại B
⇒ ∠D 1 = ∠K (tính chất hai tam giác cân)
Ta lại có: ∠C 1 = ∠K (hai góc đồng vị)
Xét ΔACD và ΔBDC:
AC = BD (gt)
CD chung
Do đó ΔACD = ΔBDC (c.g.c) ⇒ ∠(ADC) = ∠(BCD)
Hình thang ABCD có ∠(ADC) = ∠(BCD) nên là hình thang cân.
Giả sử hình thang ABCD có AB // CD và ∠D = 50 o
Vì ∠C = ∠D (tính chất hình thang cân)
∠A + ∠D = 180 o (hai góc trong cùng phía)
∠B = ∠A (tính chất hình thang cân)
Suy ra: ∠B = 130 o
Ta có:
AB = AD (gt)
AD = BC (tính chất hình thang cân)
⇒ AB = BC do đó ΔABC cân tại B
⇒ ∠BAC = ∠BCA (tính chất tam giác cân) (*)
ABCD là hình thang có đáy là AB nên AB // CD
∠BAC = ∠DCA (hai góc so le trong) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: ∠BCA = ∠DCA (cùng bằng ∠BAC)
Vậy CA là tia phân giác của ∠BCD.
Ta có: OA = OC (gt)
⇒ ΔOAC cân tại O
⇒∠A 1= (180 o - ∠(AOC) ) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)
OB = OD (gt)
⇒ ΔOBD cân tại O
⇒ ∠B 1= (180 o - ∠(BOD) )/2 (tính chất tam giác cân) (2)
∠(AOC) = ∠(BOD) (đối đỉnh) (3)
⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị tri so le trong bằng nhau)
Suy ra: Tứ giác ABCD là hình thang
Ta có: AB = OA + OB
CD = OC + OD
Mà OA = OC, OB = OD
Suy ra: AB = CD
Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.
a. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao
b. Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD =DE = EC?
a. AD = AE (gt)
⇒ ΔADE cân tại A ⇒∠(ADE) = (180 o - ∠A )/2
ΔABC cân tại A ⇒ ∠(ABC) = (180 o - ∠A )/2
Suy ra: ∠(ADE) = ∠(ABC)
⇒ DE // BC (Vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Tứ giác BDEC là hình thang
∠(ABC) = ∠(ACB) (tính chất tam giác cân) hay ∠(DBC) = ∠(ECB)
Vậy BDEC là hình thang cân.
b. Ta có: BD = DE ⇒ ΔBDE cân tại D
DE = EC ⇒ ΔDEC cân tại E
Vậy khi BE là tia phân giác của ∠(ABC) , CD là tia phân giác của ∠(ACB) thì BD = DE = EC.
Ta có: ∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)
⇒ ∠(ODC) = ∠(OCD)
⇒ΔOCD cân tại O
⇒ OC = OD
OA + AD = OB + BC
Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)
⇒ OA = OB
Xét ΔADC và. ΔBCD:
AD = BC (chứng minh trên)
AC = BD (tính chất hình thang cân)
CD chung
Do đói ΔADC và ΔBCD (c.c.c)
⇒ΔEDC cân tại E
⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD
OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD
E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.
Ta có: BD= AC (chứng minh trên)
⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC
⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB
OA = OB nên O thuộc đường trung trực của AB
E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.
b. Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm.
a. Kẻ đường cao BK
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:
∠(AHD) = ∠(BKC) = 90 o
AD = BC (tỉnh chất hình thang-Cân)
∠D = ∠C (gt)
Do đó: ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ HD = KC.
Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK
a - b = DC - AB = DC - HK = HD + KC = 2HD ⇒ HD = (a - b) / 2
HC = DC - HD = a - (a - b) / 2 = (a + b) / 2
b. HD = (CD - AB) / 2 = (26 - 10) / 2 = 8 (cm)
Trong tam giác vuông AHD có ∠(AHD) = 90 o
AH = 15 (cm)
Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân)
∠(ABD) = ∠(BDC) (so le trong)
∠(ADB) = ∠(BDC) (gt)
⇒ (ABD) = (ABD)
⇒ΔABD cân tại A
⇒ AB = AD = 3 (cm)
ΔBDC vuông tại B
∠(ADC) = ∠C (gt)
Mà ∠(BDC) = 1/2 ∠(ADC) nên ∠(BDC) = 1/2 ∠C
Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE
⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)
∠(BEC) = ∠(ADC) (đồng vị)
Suy ra: ∠(BEC) = ∠C
⇒ΔBEC cân tại B có ∠C = 60 o
⇒ΔBEC đều
⇒ EC = BC = 3 (cm)
CD = CE + ED = 3 + 3 = 6(cm)
Chu vi hình thang ABCD bằng:
AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 15 (cm)
∆ACD = ∆BDC (c.c.c) suy ra
do đó ID = IC (1)
Tam giác KCD có hai góc ở đấy bằng nhau nên KD = KC (2)
Từ (1) và (2) suy ra KI là đương trung trực của CD.
Chứng minh tương tự có IA = IB, KA = KB
Suy ra KI là đường trung trực của AB
Hình thang ABCD cân có AB // CD
DB là tia phân giác của góc D
⇒ ∠(ADB) = ∠(BDC)
∠(ABD) = ∠(BDC) (hai góc so le trong)
Suy ra: ∠(ADB) = ∠(ABD)
⇒ Δ ABD cân tại A ⇒ AB = AD (1)
Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED, AD= BE (2)
∠(BEC) = ∠(ADC) (đồng vị )
Suy ra: ∠(BEC) = ∠C = 60 o
⇒Δ BEC đều ⇒ EC = BC (3)
AD = BC (tính chất hình thang cân) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ AB = BC = AD = ED = EC
⇒ Chu vi hình thang bằng:
AB + BC + CD + AD = AB + BC + EC + ED + AD = 5AB
⇒AB = BC = AD = 20 : 5 = 4 (cm)
CD = CE + DE = 2 AB = 2.4 = 8 (cm)