Các Dạng Bài Toán Về Phương Trình Đường Tròn Và Cách Giải

I. Lý thuyết về phương trình đường tròn

- Phương trình đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

- Cho điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) có phương trình:

(x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0II. Các dạng bài tập phương trình đường tròn.

* Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn, tìm điều kiện để 1 PT là phương trình đường tròn

* Phương pháp:

+) Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = P (*)

- Nếu P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT đường tròn.

+) Cách 2: Đưa phương trình đã cho về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (**)

° Đặt P = a2 + b2 - c

- Nếu P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT đường tròn.

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn phương trình đường tròn, tìm tâm và bán kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta có a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 - c = (-1)2 + (2)2 - 9 = -4 < 0, nên đây không phải là phương trình đường tròn.

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0,

- Tương tự có: a2 + b2 - c = (3)2 + (-2)2 - 13 = 0 < 0, nên đây không phải là phương trình đường tròn.

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0, phương trình này không phải pt đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau.

Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn.

b) Khi (Cm) là pt đường tròn tìm toạ độ tâm và bán kính theo m.

* Lời giải:

b) Với điều kiện trên thì (Cm) có tâm I[m;(2m - 4)] và bán kính

Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (Cα) là đường tròn

b) Xác định α để (Cα) có bán kính lớn nhất

c) Tìm quỹ tính tâm I của (Cα)

* Lời giải:

- Lưu ý: Nếu α = kπ đường tròn là 1 điểm.

b) Để (Cα) có bán kính lớn nhất:

- Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)

⇒ Rmax = √2 khi sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn Cα có toạ độ tâm I(cosα; sinα) tức là: khử α ta có: x2 + y2 = 1 chính là quỹ tích tâm I của Cα.

* Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

* Phương pháp:

° Cách 1:

- Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)

- Tìm bán kính R của (C)

- Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

° Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- Từ điều kiện bài toán cho thiết lập hệ pt 3 ẩn a, b, c

- Giải hệ tìm a, b, c thay vào pt đường tròn (C).

* Lưu ý: Đường tròn (C) đi qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 và thường được vận dụng vào bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (chính là viết pt đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0)

b) Có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0):

- Ta có R = OI, mà

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và bán kính có pt:

(x - 1)2 + (y + 3)2 = 10

b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta có toạ độ tâm I của (C) là trung điểm A,B là:

- Bán kính

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(3;2) và bán kính có pt:

(x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

c) Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- Vì (C) đi qua A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào pt đường tròn (C) ta có hệ sau:

- Giải hệ trên ta được

⇒ Đường tròn (C) là:

* Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

* Phương pháp: Dựa vào tính chất tiếp tuyến

- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) thì: d[I,Δ] = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A thì: d[I,Δ] = IA = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) thì: d[I,Δ1] = d[I,Δ2] = R

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc với Ox

b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc với Ox

- Ox có phương trình: y = 0

- Bán kính R của đường tròn là khoảng cách từ I đến Ox ta có:

⇒ Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có:

⇒ Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

c) (C) đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- Vì A nằm ở góc phần tư thứ tư nên đường tròn cũng nằm trong góc phần tư thứ tư này, nên toạ độ tâm I=(R;-R).

- Ta có:

⇔ R2 = R2 - 4R + 4 + R2 - 2R + 1

⇔ R2 - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán là:

(C1): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

(C2): (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 và (d2): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng R=√10 có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d1 nên I(-2a+3;a) do (C) tiếp xúc với d2 nên ta có:

⇒ I1(19;-8) và I2(-21;12)

⇒ Có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện là:

(C1): (x - 19)2 + (y + 8)2 = 10

(C2): (x + 21)2 + (y - 12)2 = 10

Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y - 8 = 0 và (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên (d): x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc với (d1) và d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) do (C) tiếp xúc với (d1) và (d2) nên ta có:

⇒ Vậy có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện.

- Với a = -12 thì I(-25;-12), Phương trình đường tròn (C1):

- Với thì , Phương trình đường tròn (C2):

* Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° Cách 1:

- Tính diện tích S và nửa chu vi P của tam giác để tính được bán kính đường tròn

- Gọi I(a;b) là tâm của đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác bằng nhau và bằng r, từ đó lập thành hệ pt với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a, b và phương trình đường tròn.

° Cách 2:

- Viết phương trình đường phân giác trong của 2 góc trong tam giác.

- Tìm giao điểm 2 đường phân giác đó ta được tâm I của đường tròn

- Tính khoảng cách từ I tới 1 cạnh bất kỳ của tam giác ta được bán kính.

Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) và B(0;3)

a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông tại O nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB nên tâm toạ độ tâm I của đường tròn nội tiêp là: I=(2;3/2).

⇒ Bán kính: R = IA = 5/2

⇒ PT đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:

b) Ta sẽ tính diện tích và nửa chu vi của OAB

- Ta có

- Nửa chu vi:

⇒

- Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục toạ độ nên tâm Ir=(r;r)=(1;1)

⇒ Pt đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi 3 đường thẳng:

(d1): 4x - 3y - 65 = 0

(d2): 7x - 24y + 55 = 0

(d3): 3x + 4y - 5 = 0

* Lời giải:

- Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:

AB: 4x - 3y - 65 = 0

BC: 7x - 24y + 55 = 0

CA: 3x + 4y - 5 = 0

- Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)

- Ta có VTPT: ,

- Dễ thấy tam giác vuông tại A do

- Tính độ dài các cạnh ta có: AB = 20 ; BC = 25; CA = 15

- Diện tích tam giác ABC: SABC = 150

- Nửa chu vi là:

- Bán kính đường tròn nội tiếp là: r = S/P = 150/30 = 5.

- Gọi bán kính đường tròn nội tiếp là I(a;b) thì khoảng cách từ I tới các đường thẳng đã cho đều là r=5 nên ta có.

- Giải hệ trên ta được: a = 10 và b = 0;

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: (x - 10)2 + y2 = 25